FUNÇÃO COSSENO

Grupo: Gustavo Souza, Helen de Jesus, Jônatas Neves, Marcelo Henrique e Rebeca Leão.

Conceito

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

Exemplos

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

 

Explicação

Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.

Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .

Sinal da Função: Como cosseno x é a abcissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abcissa positiva)

f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)

 

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando  , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando  , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando  , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando ,  4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

Gráfico

Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2 π. Esse intervalo é denominado cossenoide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

 

– Exercícios resolvidos

QUESTÃO 01

Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5
3
a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, é:

Podemos ilustrar a situação desta forma:

 

Utilizando a fórmula para o cálculo do cosseno, temos:

cos ɑ = √5
3

cos ɑ = x
6

√5 = x
3    6

3x = 6.√5

x = 6.√5
3

x = 2√5

 A distância do ponto de apoio até a parede é de aproximadamente 2√5 metros.

QUESTÃO 02

Considere as afirmativas:

I- A função logarítmica na base 2, para x>0 é sempre positiva.

II- A função logarítmica natural f(x) = ln(x), para x>0 é sempre crescente.

III- A função cosseno f(x) = cos(x), para x>0, é sempre positiva.

IV- A função tangente, f(x) = tg(x), para 0 < x < π/2, é sempre crescente.

 Quais alternativas estão certas?

1. a) I e II
2. b) II e IV
3. c) III e IV
4. d) I, II e III
5. e) I, III e IV

 Resposta:

1. I) Falsa pois será negativa quando 0 < x < 1.
2. II) Verdadeira, já que o número de Euler é aproximadamente 2,718 > 1, fazendo com que a função seja crescente para x > 0.

III) Falsa, a função Cosseno varia entre 1 e -1

1. IV) Verdadeira, pois a função tangente é sempre crescente para x > 0.

Sendo assim, a alternativa B seria a resposta correta.

Curiosidades

– A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos) e metron(medida); significando assim “medida dos triângulos”.

– Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.