FUNÇÃO TANGENTE

Grupo: Tiago Dourado, Taiane Texeira e Nicolly Farias.

Conceito/explicação:

• Tabelas trigonométricas

No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por esse motivo, seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela. Veja:

Tangente = Cateto Oposto / Cateto Adjacente

Do latim tangens, o termo tangente é simultaneamente um substantivo e um adjectivo que faz referência àquilo que toca ou que tange. O conceito é frequente no âmbito da geometria, já que se pode falar da recta tangente e da tangente de um ângulo.

Uma (linha) recta tangente é aquela que tem um único ponto em comum com uma curva (o ponto de tangência). Este ponto constitui a pendente da curva. A tangente de um ângulo, por outro lado, é a relação entre os catetos de um triângulo retângulo. Pode expressar-se como valor numérico a partir da divisão entre o comprimento do cateto oposto e do cateto adjacente do ângulo em questão. Para a trigonometria, o arco tangente é a função inversa da tangente de um ângulo.

Tangente pode ser a razão da medida do cateto oposto a um certo ângulo e da medida do cateto adjacente a este mesmo ângulo. pode ser também a definição de uma reta que toca em um único ponto de uma circunferência.

•  Função

Definimos como função tangente a função f: IR-»IR definida por f(x) = y = a + b • tg (m • x + n), que na forma mais simples é dada por f(x) = y = tg x e sua interpretação na circunferência trigonométrica. Ao eixo vertical que tangencia a circunferência trigonométrica no ponto A dá-se o nome de eixo das tangentes e sua variação é a mesma do eixo das ordenadas (y), considerando como origem o ponto A.

 A função tangente será sempre crescente. Ou seja se nós calcularmos por exemplo o cateto oposto a x, dividido por  -1 e 1 o raio da circunferência, teremos a tangente de x tg (x) assim se dá o gráfico.

Clique aqui para ver uma simulação no gráfico tangente.

Flutuação da função tangente :

• 1º Quadrante – Crescente
• 2º Quadrante – Decrescente
• 3º Quadrante – Crescente
• 4º Quadrante – Decrescente
• Crescente em cada valor. 

Propriedades:

- Domínio: x≠kπ+π2
- Imagem: R
- Período: 𝝅 rad

• Curiosidades +++

Você sabe que está a 10 metros de um prédio, e o vê sobre um ângulo de 30º, por exemplo, então você quer saber a altura daquele prédio, ora, se você está a 10 metros, do prédio 10 metros, seria o cateto adjacente ao ângulo de 30º, e a altura do prédio seria o cateto oposto, então sabemos:

tangente 30º = cateto oposto : cateto adjacente [então o cateto adjacente é “10”, e a tangente de 30º é raiz de 3 ,então:

raiz de 3 = cateto oposto : 10

raiz de 3 . 10 = cateto oposto [o 10 estava dividindo passa pro 1º termo multiplicando, sabendo que raiz de 3 é aproximadamente 1,7, então:

raiz de 3 . 10 = cateto oposto

1,7 . 10 = cateto oposto

17 = cateto oposto.

Resposta: A altura do prédio é de 17 metros.

• Escadas e rampas

Você já deve ter visto em provas, escadas encostadas em paredes. Diversas rampas também já foram utilizadas nesses exercícios. A ideia é sempre a mesma calcular o tamanho dessa escada/rampa. Se pensarmos que essa escada é a hipotenusa de um triângulo retângulo, podemos utilizar uma das relações trigonométricas (seno ou cosseno) para encontrá-la.

• Exercícios resolvidos

1) Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo de catetos que medem √3 cm e 1 cm.Sejam os ângulos procurados a e b, temos então:

tg a = √3

          1

tg a = √3

tg a = 60°

tg b = 1

         √3

tg b = 1 . √3

         √3  √3

tg b = √3

          3

b = 30°

Os ângulos agudos procurados são 30° e 60°

2) Determine o valor de tan(-35/4).

tan(-35𝝅/4)=tan(-35𝝅/4+5.2𝝅)=tan(5𝝅/4)

Portanto                                  tan(-35𝝅/4)=1

3) (U.F. Juiz de Fora – MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então, usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros?

Primeiramente, vamos visualizar a situação hipotética através do desenho abaixo:

Representação da situação-problema da questão 3

Para resolver esse exercício, é preciso recordar que o cálculo da tangente é dado pelo quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente e que, de acordo com a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, a tangente de 45° é 1 e a tangente de 30 é dada por √3. Sendo assim, temos:
                                           3

tg 45° = x → x = tg 45°.y
y         

tg 30° =  x → x = tg 30°.(2+ y)
2 + y                 

Encontramos dois valores distintos para a variável x, igualando-os, temos:

tg 45° . y = tg 30° . (2 + y)

1. y = √3 . (2 + y)
3  

y = 1,73 . (2 + y)
3      

3y = 1,73y + 3,46

3 y – 1,73y = 3,46

1,27y = 3,46

y = 3,46
      1,27

y = 2,7 km

Mas nós procuramos pelo valor correspondente a x, podemos então substituir o valor encontrado de y em alguma das equações destacadas em vermelho:

x = tg 45°. y
x = 1 . 2,7
x = 2,7 km

Portanto, a altura da montanha é de, aproximadamente, 2,7 quilômetros.

Vídeo recomendado: 

Referências:

• Descomplica
• Conceito.de