IFBA Matemático : FUNÇÃO SENO

Grupo: Alesandio, Djordan, Ian, Victor e Wadeson.

Círculo Trigonométrico

É formado por um círculo unitário com raio 1, cortado por dois eixos, x e y. A partir dele é possível construir ângulos, positivos no sentido anti-horário e negativos no sentido horário do qual será chamado de teta (θ). Esse círculo trigonométrico será a base para a definição das funções trigonométricas. Ao marca um ponto na intersecção do final do ângulo teta e da circunferência, atribuímos a ele as coordenadas (a, b). E a partir dele é possível transformar o ângulo θ em um ângulo de um triangulo retângulo, ligando uma linha desse ponto até o eixo X formando um ângulo de 90º com ele, a hipotenusa desse triangulo valerá 1, pois é o valor do raio do círculo, o valor do lado oposto ao ângulo teta tem o mesmo tamanho que sua projeção no eixo Y e por isso terá valor b e o valor do lado adjacente ao mesmo ângulo tem o mesmo tamanho que sua projeção no eixo X e terá valor a. A inscrição desse triangulo no círculo trigonométrico, permite definir razões constantes entre os seus lados, e a partir dos valores dos catetos oposto e adjacente e o da hipotenusa, podemos encontra os valores do seno, cosseno e tangente. O valor do cosseno do ângulo θ é a razão entre o cateto adjacente, que é o lado representado pelo valor a e a hipotenusa, que tem valor 1 pois é o raio do círculo, então: cos θ = a / 1, que acaba sendo o próprio a. O valor do seno do ângulo θ é a razão entre o cateto oposto, representado pelo valor b e a hipotenusa, então sen θ = b / 1, que também é o próprio b. E a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, que é a mesma coisa que a razão entre o seno e o cosseno, então: tg θ = b / a = sen θ / cos θ.

Propriedades da Função Seno

O seno é uma função trigonométrica, “que é a razão entre o cateto oposto a um ângulo de um triângulo retângulo e a hipotenusa. ” Ela associa cada número x ∈ R o número sen (x) ∈ R, algebricamente de forma simplificada temos:

f(x) = sen (x) ⇔ y = sen (x) = cateto oposto / hipotenusa

Domínio: R
Imagem: [1, -1]
Período: 2.π.rad
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Ao abranger as demais variáveis que influenciam na formação do gráfico da função seno, se chega a esse formula:

f (x) = a ± b. sen( m.x + n)

a = eixo central da função, ou variável que desloca o gráfico verticalmente;
b = amplitude da função, ou o quanto sobe e o quanto desce a partir de a;
m = altera o período da função;
n = variável que desloca o gráfico horizontalmente;
± = altera ou define a flutuação da função.
Domínio: R
Imagem: [a-b, a+b]. Obs.: b tem que estar em modulo
Período: 2π / |m|

Para experimentar o simulador do Phet de Trigonometria [clique aqui]

Para acessar a tabela com o gráfico da função do seno [clique aqui]

Flutuação da função seno:

1º Quadrante – Crescente
2º Quadrante – Decrescente
3º Quadrante – Decrescente
4º Quadrante – Crescente

Relação fundamental da Trigonometria

E se tivermos apenas o valor do seno, como calcular o valor do cosseno e da tangente? A partir da relação criada por Pitágoras para triangulo retângulo, pode-se aplicar essa lei no círculo trigonométrico, onde o eixo vertical é representado pelo seno e o eixo horizontal pelo cosseno. Ao se inscrever um triangulo nesse círculo podemos aplicar o fundamento do teorema de Pitágoras, onde obtemos a relação fundamental trigonométrica:

sen² θ + cos² θ = 1

Lei dos Senos

As relações trigonométricas do triângulo retângulo, ao relacionar as medidas dos lados por meio das relações de seno, cosseno e tangente, não são validas em triângulos quaisquer que não sejam retângulos, para conseguir calcular as medidas dos lados e dos ângulos desconhecidos de qualquer triangulo, usa-se a lei dos senos ou a lei dos cossenos. A formula que representa a lei dos senos utiliza a razão envolvendo o lado do triangulo e o ângulo oposto a esse lado, que é uma razão que se repete em os lados do triangulo:

Exemplos

Ex. 1: Determine o ângulo θ do triangulo abaixo usando a função seno:

f(θ) = sen θ

f(θ) = 3 / 5

f(θ) = 0,6

R: sen θ = 0,6

Ex. 2: Qual o período e a imagem da função f(x) = 3 – 2 . sen(x/3)?

Período:

P = 2π / |m|

P = 2π/ 1/3

R: P = 6 π rad

Imagem:

Im = [a-b, a+b]

Im = [3-2, 3+2]

R: Im = [1, 5]

Ex. 3: A partir do seno encontrado na questão anterior, determine o valor do cosseno e da tangente.

Seno:

sen² θ + cos² θ = 1

0,6² + cos² θ = 1

0,36 + cos² θ = 1

cos² θ = 1 – 0,36

cos² θ = 0,64

cos θ = √0,64

R: cos θ = 0,8

Tangente:

tg = 0,6: 0,8

R: tg = 0,75

Ex. 4: No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

Antes de determinar o valor de x, é necessário saber o valor do terceiro ângulo do triangulo, para isso utilizamos a definição em que “A soma dos ângulos internos de um triangulo é sempre 180º”.

x + 45º+ 105º = 180º

x = 180º – 45º – 105º

x = 180º – 150º

x = 30º

Agora podemos utilizar a lei dos senos:

x/ sen 45º = 90 / sen 30º

x/ 707 = 90/ 05

0,5x = 63,63

R: x = 127,26

Exercícios

01 – Calcule a medida do lado x. Dados: sen 45° = 0,707; sen 120° = 0,866

02 – Calcule o comprimento do lado AB. Dado: sen 30 = 0,5; sen 60 = 0,866.

03 – Considere um triangulo em que um dos ângulos mede 75° e o lado oposto a ele mede 90 cm. Outro ângulo mede 80°. Calcule a medida do lado oposto ao ângulo de 80°. Dado: sen 75 = 0,966; sen 80 = 0,985.

04 – O construtor deseja calcular a distância do ponto A ao ponto C, pontos onde a ponte será construída, entretanto ele não possui nenhuma ferramenta que meça essa distância, mas ele conhece de matemática e teve a seguinte ideia. “Como eu possuo uma ferramenta que calcula ângulos, conseguirei determinar o comprimento desta ponte”. Com isso ele marcou um ponto B, calculou o ângulo BÂC que foi igual a 85°, caminhou até o ponto B, uma distância de 2 km, e calculou o ângulo ABC obtendo um ângulo de 65°. Calcule o comprimento da ponte:

05 – Certa vez um pedreiro apoiou uma escada de 2 metros na parede fazendo um ângulo de 30º com o chão e pensou: “Qual é a altura que a escada alcançou na parede? Qual será a distância da parede até ao pé da escada? A figura abaixo representa o problema.

06 – (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

Respostas:

Como não se trata de um triangulo retângulos, vamos utilizar a Lei dos senos. Nesse triângulo, vamos igualar o lado AC sobre o seno de 45° com o lado BC sobre seno de 120°.

Apesar de ser um triângulo retângulo, nós não temos a medida da hipotenusa, portanto vamos utilizar a fórmula da Lei dos Senos.
q2-2

Em complemento, se fosse pedido para calcular a hipotenusa utilizando o seno, poderia resolver da seguinte maneira:
q-2-3

Um diferencial nesse exercício é que não foi dada a ilustração do triângulo. Essa situação é muito comum e exige que o aluno saiba interpretar para desenvolver o exercício. O ideal é que o aluno faça o desenho do triângulo para facilitar a visualização do problema.

Com a visualização do triângulo fica bem melhor de resolver o exercício. Vamos usar a Lei dos Senos, pois não se trata de um triângulo retângulo.
q3-2

Se quisesse calcular o comprimento do outro lado, teríamos que calcular o outro ângulo interno. Isso é simples, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Portanto o outro ângulo mede:
q-3-3

O exercício teria que nos informar também que seno de 25° é igual a 0,422. Com isso, aplicamos a Lei dos Senos e calculamos o outro lado do triângulo que vamos chamar de k.