Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.
A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas são deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem (O) do sistema de eixos coordenados e de raio (1). Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P. De acordo com as seguintes definições podemos entender os arcos trigonométricos:
Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α
Circunferência Trigonométrica
Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6 = 2π – 5π/6.
Curiosidades
1. A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade.Os eixos do plano cartesiano dividem o círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os números reais α relacionados a um único ponto P.
2. Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no círculo para determinarmos a sua imagem.
3. As partes delimitadas da circunferência pelos pontos A e B são chamadas de arcos da circunferência.
4. Dois pontos quaisquer pertencentes a uma circunferência formam dois arcos.
5. Um arco de circunferência é delimitado por dois pontos que pertencem à circunferência, se esses pontos forem iguais, ou seja, estiverem localizados no mesmo lugar na circunferência, o arco será nulo ou de uma volta completa.
6. Os babilônios acreditavam que a melhor base para fazer contagens era a base 60, por ter múltiplos divisores (l, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60), podendo ser facilmente decomposta, o que facilitava muito os cálculos, principalmente as divisões. Hiparco de Niceia (aproximadamente 180 a. C.-125 a. C.), que era grego, compartilhava da mesma ideia e escolheu um múltiplo de 60, o 360 (note a proximidade com a quantidade de dias que possui, atualmente, um ano), e dividiu a circunferência em 360 partes, cada uma delas sendo chamada de arco de um grau (1°). Assim, uma circunferência tem, como arco de uma volta completa, 360°. Pela necessidade de se obter partes ainda menores, cada grau foi dividido em 60 outras partes, individualmente denominadas de arco de um minuto (T). Os minutos também foram divididos em 60 outras partes, cada uma delas sendo chamada de arco de um segundo (l”). Assim, tem-se que: 1° = 60′ (l grau é igual a 60 minutos); l’ = 60″ (l minuto é igual a 60 segundos).
Exercícios
1). Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco AB, se: (a) L=6 cm (b) L=16 cm (c) L=22 cm (d) L=30 cm
Resposta: A medida em radianos de um arco AB é dada por m(AB) = comprimento do arco(AB) comprimento do raio.
(a) m(AB) = ( 6cm)/( 4cm) = 1,5 rad
(b) m(AB) = (16cm)/(4cm) = 4 rad
(c) m(AB) = (22cm)/(4cm) = 5,5 rad
(d) m(AB) = (28cm)/(4cm) = 7 rad
2). Em uma circunferência de raio R, calcule a medida de um arco em radianos, que tem o triplo do comprimento do raio.
Resposta:
A medida em radianos de um arco AB é dada por
m(AB)=
comprimento do arco(AB)comprimento do raio
Assim, como o comprimento do arco é o triplo do comprimento do raio
m(AB) = 3R/R = 3rad
3). Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre uma única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos?
Resposta:
Uma volta inteira na pista equivale a 360 graus, assim 1/3 de 360 graus é 120 graus.
Uma volta inteira na pista equivale a 2 radianos, então o atleta percorreu (2/3) rad
4). Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?
Resposta:
Para simplificar os resultados supomos π=3,1415 e enumeramos as raias de dentro para fora como C1, C2, C3, C4 e C5.
A primeira raia C1 tem raio de medida 10 m, então:
m(C1)=2π100=200rad=200 x 3,1415=628,3 metros
A raia C2 tem raio de medida 12 m, então:
m(C2)=2π102=204rad=204 x 3,1415=640,87 metros
A raia C3 tem raio de medida 14 m, então:
m(C3)=2π104=208rad=208 x 3,1415=653,43 metros
A raia C4 tem raio de medida 16 m, então:
m(C4)=2π106=212rad=212 x 3,1415=665,99 metros
5). Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das medidas do primeiro com o segundo é 14 graus, a do segundo com o terceiro é 12 graus e a soma das medidas do primeiro com o terceiro é 8 graus.
Resposta:
Sejam a, b e c os três ângulos, assim
m(a)+m(b)=14 graus
m(b)+m(c)=12 graus
m(a)+m(c)= 8 graus
resolvendo o sistema de equações, obtemos:
m(a)=5 graus
m(b)=9 graus
m(c)=3 graus
6). Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em graus e em radianos.
Resposta:
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 30 graus, que
corresponde a 360/12 graus. Como 1 hora possui 60 minutos, então o ângulo percorido é igual a a=0,5 graus, que é obtido pela regra de três:
60 min ………………… 30 graus
1 min ………………… a graus
Convertemos agora a medida do ângulo para radianos, para obter a=π/360 rad, através da regra de três:
180graus ………………… π.rad
0,5 graus ………………… a rad
7). Os dois ponteiros de um relógio se sobrepõem há 0 horas. Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira vez novamente?
Resposta:
O ponteiro dos minutos percorre 360° enquanto o ponteiro das horas percorre 360°/12=30º. Até 1:00h os ponteiros não se encontraram, o que ocorrerá entre 1:00 h e 2:00 h.
Consideraremos a situação original à 1:00 h, deste instante até o momento do encontro o ponteiro dos minutos deslocou aº e o ponteiro das horas deslocou (a-30)º, como está na figura, assim:
Ponteiro dos minutos
ponteiro das horas
360º
30º
aº
(a-30)º
Pela tabela, tem-se que: 360(a-30)=30.a, de onde segue que 330a=10800 e assim podemos concluir que a=32,7272º
O ponteiro dos minutos deslocou 32,7272º após 1:00 h, mas ainda precisamos verificar quantos minutos corresponde este ângulo.
5 min ………………… 30 graus
x min …………… 32,7272 graus
A regra de três fornece x=5,4545’=5’27,27”. Assim, os ponteiros coincidem novamente após às 12:00 h à 1 hora,5 minutos e 27,27 segundos
8). Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 12 h e 20minutos.
Resposta:
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos ele percorre o ângulo a
60 min ………… 30 graus
20 min …………… a graus
A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ângulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus.
9). Em um polígono regular um ângulo externo mede π/14 rad. Quantos lados tem esse polígono?
Resposta:
28 lados
10). Escreva o ângulo a=12°28′ em radianos.
Resposta:
Usando o fato de que 1 grau possui 60 minutos, temos
1 grau …………… 60 minutos
x graus …………… 28 minutos
A regra de três garante que x=28/60=0,4666 grause desse modo segue que 12° 28’=(12+28/60)°=12+0,4666=12,4666°
Representando por M a medida do ângulo em radianos, temos
180°……………π.rad
12,4666°……………M rad
e da regra de três segue que: M=12,4666.π/180=0,2211 rad
11). Escreva o ângulo a=36°12’58” em radianos.
Resposta:
Usando o fato de que 1 minuto possui 60 segundos, temos
1 min ……………60 segundos
x min ……………58 segundos
x=58/60=0,967 min, logo 36°12’58”=36°(12+0,967)’=36°12,967′
Como 1 grau corresponde a 60′, então:
1 grau ……………60 minutos
x graus ……………12,967 minutos
x=12,967/60=0,2161° e 36°12’58”=(36+0,2161)°=36,2161°
A medida M do ângulo em radianos, é M=36,2161°.π/180=0,6321 rad, que foi obtida como solução da regra de três:
180° ……………π. rad
36,2161° ……………M rad
12) Dados os ângulos x=0,47623rad e y=0.25412rad, escreva-os em graus, minutos e segundos.
Resposta:
(a). Considere a seguinte regra de três,
180°…………………π.rad
x……………0,47623 rad
Assim: x=0,47623. 180/π=27,2911°=27°17,466’=27°17’27”
(b). Analogamente obtemos:
y=0.25412×180/π=14,56°=14°33,6’=14°33’36”
13). Em uma circunferência de raio r, calcular a medida do arco subtendido pelo ângulo A em cada caso:
A=0°17’48” r=6,2935cm
A=121°6’18” r=0,2163cm
Resposta:
(a) Primeiro convertemos o ângulo para radianos para obter:
a=0°17’48”=0°(17+48/60)’=(0+17,8)’=(0+17,8/60)°=0,2967°
Com a regra de três:
180°…………… π. rad
0,2967°………… a rad
obtemos a=0,2967.π/180=0,0051778 rad e como a medida do arco é dada pela medida do ângulo(rad) x medida do raio, temos que medida do arco=0,0051778×6,2935=0,03286cm
(b) Analogamente, a = 121° 6′ 18” =121,105°. Em radianos, a medida do ângulo se torna a=121,105 pi/180=2,1137rad
Assim, a medida do arco=2,1137×0,2163=0,4572cm.
14). Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule a medida do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos seguintes casos.
AB=0,16296 cm r=12,587cm.
AB=1,3672cm r=1,2978cm.
Resposta:
(a) A medida do ângulo AÔB é dada pelo comprimento de AB dividido pelo comprimento do raio, assim m(AÔB)=0,16296/12,587=0,012947 rad = 0° 44′ 30”
(b) Analogamente:
m(AÔB)=1,3672/1,2978=1,0535rad=60,360°=60°21,6’=60°21’35”
15) Em uma circunferência, dado o comprimento do arco AB e o ângulo AÔB subtendido a este arco, calcule a medida do raio.
AÔB=0°44’30” AB=0,032592cm
AÔB=60°21’6″ AB=0,4572cm
Resposta:
- Primeiramente devemos exprimir o ângulo em radianos.
AÔB = 0° 44′ 30”=0,7417° = 0,7417 x /180 = 0,01294 rad
A medida do raio é dada pelo comprimento de AB dividido por m(AÔB), logo:
comprimento do raio = 0,032592/0,01294 = 2,518 cm
- Analogamente,
AÔB=60°21’6”=60,3517°=60,3517× /180=1,0533rad
comprimento do raio = 0,4572/1,0533=0,4340cm
