FUNÇÃO TANGENTE

Grupo: Tiago Dourado, Taiane Texeira e Nicolly Farias.

Conceito/explicação:

• Tabelas trigonométricas

No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois estão presentes em diversos cálculos. Por esse motivo, seus valores trigonométricos correspondentes são organizados em uma tabela. Veja:

Tangente = Cateto Oposto / Cateto Adjacente

Do latim tangens, o termo tangente é simultaneamente um substantivo e um adjectivo que faz referência àquilo que toca ou que tange. O conceito é frequente no âmbito da geometria, já que se pode falar da recta tangente e da tangente de um ângulo.

Uma (linha) recta tangente é aquela que tem um único ponto em comum com uma curva (o ponto de tangência). Este ponto constitui a pendente da curva. A tangente de um ângulo, por outro lado, é a relação entre os catetos de um triângulo retângulo. Pode expressar-se como valor numérico a partir da divisão entre o comprimento do cateto oposto e do cateto adjacente do ângulo em questão. Para a trigonometria, o arco tangente é a função inversa da tangente de um ângulo.

Tangente pode ser a razão da medida do cateto oposto a um certo ângulo e da medida do cateto adjacente a este mesmo ângulo. pode ser também a definição de uma reta que toca em um único ponto de uma circunferência.

•  Função

Definimos como função tangente a função f: IR-»IR definida por f(x) = y = a + b • tg (m • x + n), que na forma mais simples é dada por f(x) = y = tg x e sua interpretação na circunferência trigonométrica. Ao eixo vertical que tangencia a circunferência trigonométrica no ponto A dá-se o nome de eixo das tangentes e sua variação é a mesma do eixo das ordenadas (y), considerando como origem o ponto A.

 A função tangente será sempre crescente. Ou seja se nós calcularmos por exemplo o cateto oposto a x, dividido por  -1 e 1 o raio da circunferência, teremos a tangente de x tg (x) assim se dá o gráfico.

Clique aqui para ver uma simulação no gráfico tangente.

Flutuação da função tangente :

• 1º Quadrante – Crescente
• 2º Quadrante – Decrescente
• 3º Quadrante – Crescente
• 4º Quadrante – Decrescente
• Crescente em cada valor. 

Propriedades:

- Domínio: x≠kπ+π2
- Imagem: R
- Período: 𝝅 rad

• Curiosidades +++

Você sabe que está a 10 metros de um prédio, e o vê sobre um ângulo de 30º, por exemplo, então você quer saber a altura daquele prédio, ora, se você está a 10 metros, do prédio 10 metros, seria o cateto adjacente ao ângulo de 30º, e a altura do prédio seria o cateto oposto, então sabemos:

tangente 30º = cateto oposto : cateto adjacente [então o cateto adjacente é “10”, e a tangente de 30º é raiz de 3 ,então:

raiz de 3 = cateto oposto : 10

raiz de 3 . 10 = cateto oposto [o 10 estava dividindo passa pro 1º termo multiplicando, sabendo que raiz de 3 é aproximadamente 1,7, então:

raiz de 3 . 10 = cateto oposto

1,7 . 10 = cateto oposto

17 = cateto oposto.

Resposta: A altura do prédio é de 17 metros.

• Escadas e rampas

Você já deve ter visto em provas, escadas encostadas em paredes. Diversas rampas também já foram utilizadas nesses exercícios. A ideia é sempre a mesma calcular o tamanho dessa escada/rampa. Se pensarmos que essa escada é a hipotenusa de um triângulo retângulo, podemos utilizar uma das relações trigonométricas (seno ou cosseno) para encontrá-la.

• Exercícios resolvidos

1) Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo de catetos que medem √3 cm e 1 cm.Sejam os ângulos procurados a e b, temos então:

tg a = √3

          1

tg a = √3

tg a = 60°

tg b = 1

         √3

tg b = 1 . √3

         √3  √3

tg b = √3

          3

b = 30°

Os ângulos agudos procurados são 30° e 60°

2) Determine o valor de tan(-35/4).

tan(-35𝝅/4)=tan(-35𝝅/4+5.2𝝅)=tan(5𝝅/4)

Portanto                                  tan(-35𝝅/4)=1

3) (U.F. Juiz de Fora – MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então, usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em quilômetros?

Primeiramente, vamos visualizar a situação hipotética através do desenho abaixo:

Representação da situação-problema da questão 3

Para resolver esse exercício, é preciso recordar que o cálculo da tangente é dado pelo quociente do cateto oposto pelo cateto adjacente e que, de acordo com a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis, a tangente de 45° é 1 e a tangente de 30 é dada por √3. Sendo assim, temos:
                                           3

tg 45° = x → x = tg 45°.y
y         

tg 30° =  x → x = tg 30°.(2+ y)
2 + y                 

Encontramos dois valores distintos para a variável x, igualando-os, temos:

tg 45° . y = tg 30° . (2 + y)

1. y = √3 . (2 + y)
3  

y = 1,73 . (2 + y)
3      

3y = 1,73y + 3,46

3 y – 1,73y = 3,46

1,27y = 3,46

y = 3,46
      1,27

y = 2,7 km

Mas nós procuramos pelo valor correspondente a x, podemos então substituir o valor encontrado de y em alguma das equações destacadas em vermelho:

x = tg 45°. y
x = 1 . 2,7
x = 2,7 km

Portanto, a altura da montanha é de, aproximadamente, 2,7 quilômetros.

Vídeo recomendado: 

Referências:

• Descomplica
• Conceito.de

FUNÇÃO COSSENO

Grupo: Gustavo Souza, Helen de Jesus, Jônatas Neves, Marcelo Henrique e Rebeca Leão.

Conceito

Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário. Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos complexos.

Exemplos

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

 

Explicação

Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.

Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .

Sinal da Função: Como cosseno x é a abcissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abcissa positiva)

f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)

 

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando  , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando  , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando  , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando ,  4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

Gráfico

Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2 π. Esse intervalo é denominado cossenoide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

 

– Exercícios resolvidos

QUESTÃO 01

Uma escada que mede 6m está apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5
3
a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, é:

Podemos ilustrar a situação desta forma:

 

Utilizando a fórmula para o cálculo do cosseno, temos:

cos ɑ = √5
3

cos ɑ = x
6

√5 = x
3    6

3x = 6.√5

x = 6.√5
3

x = 2√5

 A distância do ponto de apoio até a parede é de aproximadamente 2√5 metros.

QUESTÃO 02

Considere as afirmativas:

I- A função logarítmica na base 2, para x>0 é sempre positiva.

II- A função logarítmica natural f(x) = ln(x), para x>0 é sempre crescente.

III- A função cosseno f(x) = cos(x), para x>0, é sempre positiva.

IV- A função tangente, f(x) = tg(x), para 0 < x < π/2, é sempre crescente.

 Quais alternativas estão certas?

1. a) I e II
2. b) II e IV
3. c) III e IV
4. d) I, II e III
5. e) I, III e IV

 Resposta:

1. I) Falsa pois será negativa quando 0 < x < 1.
2. II) Verdadeira, já que o número de Euler é aproximadamente 2,718 > 1, fazendo com que a função seja crescente para x > 0.

III) Falsa, a função Cosseno varia entre 1 e -1

1. IV) Verdadeira, pois a função tangente é sempre crescente para x > 0.

Sendo assim, a alternativa B seria a resposta correta.

Curiosidades

– A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos) e metron(medida); significando assim “medida dos triângulos”.

– Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.

Trigonometria no triângulo retângulo

Grupo: Edizia, Hillary, João Vitor, Luana, Raiane e Tainara.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

1.    Seno

Veja a figura:

Os triângulos retângulos ABC, ADE e AFG são semelhantes. Portanto, seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja:

BC/AC = DE/AE  = FG/AG

O valor numérico dessas razões chama-se seno do ângulo A (sem Â).

sen  = BC/AC ou sen  = DE/AE  ou sen  = FG/AG

                            

A→ medida do cateto oposto

                                     B→ medida da hipotenusa

                                        sen  = Cateto Oposto/ Hipotenusa = a/b 

 2.    Cosseno

Podemos escrever também:

AB/AC = AD/AE = AF/AG

O valor numérico dessas razões chama-se cosseno do ângulo A (cos Â).

cos  = AB/AC ou cos  = AD/AE ou cos  = AF/AG

 C→medida do cateto adjacente 

B→medida da hipotenusa

                                

 cos  = Cateto Adjacente/ Hipotenusa = c/b

3.    Tangente

Temos ainda: 

BC/AB = DE/AD = FG/AF

O valor numérico dessas razões chama-se tangente do ângulo A (cos Â).

tg  = BC/AB ou tg  = DE/AD ou tg  = FG/AF

        

                         A →medida do cateto oposto

                            B →medida do cateto adjacente

tg Â = Cateto Oposto / Cateto Adjacente = a / c

                             

4.    Curiosidades

Os conceitos de seno e cosseno tiveram suas origens dentro da Astronomia devido, principalmente, à necessidade que os astrônomos tinham de medir distâncias em linha reta entre dois pontos situados sobre a superfície da Terra.

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa. Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa "baía" ou "enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim. A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

A palavra cosseno significa “o seno do arco complementar”. Já a noção de tangente, que expressa a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, apareceu mais tarde devido à necessidade de se calcular alturas.

5.    Exercícios Resolvidos

01- (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.

b) 12 m.

c) 13,6 m.

d) 9√3 m.

e) 18 m.

02- Calcule o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo x, observando as medidas do triângulo retângulo abaixo:

03-Calcular o valor de k no triângulo retângulo abaixo:

Respostas

Exercício 01

Podemos representar no triângulo ilustrado a seguir a situação descrita no problema. A hipotenusa representa a rampa percorrida pela pessoa citada:

Representação geométrica da questão 3

Na figura, a altura que a pessoa foi elevada está representada pelo lado vermelho (cateto oposto ao ângulo de 30°). Vamos chamar esse lado do triângulo de x para determinar seu valor. Para tanto, utilizaremos a fórmula do seno:

Sen 30° = cat. Oposto
               hipotenusa
1 = x
2   36
2x = 36
x = 36
      2
x = 18 m

Portanto, ao subir a rampa, a pessoa eleva-se verticalmente 18 m. Logo, a alternativa correta é a letra e.

Exercício 02

Exercício 03

Basta analisarmos o triângulo. Já sabemos a medida da hipotenusa e queremos saber a medida do cateto oposto. É óbvio que o caminho mais fácil a seguirmos é utilizando a fórmula do seno:

Referencias :

Saber Matemática; Mundo Educação.

No vídeo abaixo está a resolução de mais alguns exercícios básicos de trigonometria num triângulo retângulo. Confira: